DISJUNGSI EKSKLUSIF

IV.            DISJUNGSI EKSKLUSIF

Artinya Disjungsi p dengan q bernilai benar hanya jika salah satu proposisi atomic nya benar (tapi bukan keduanya). Contoh :

          “Pemenang lomba mendapat hadiah berupa BB atau IPAD”

Kata “atau” pada disjungsi di atas digunakan secara eksklusif. Artinya, hadiah yang dapat dibawa pulang oleh pemenang hanya salah satu dari BB atau IPAD tetapi tidak bisa keduanya.

Khusus untuk disjungsi ini,  kita gunakan operator logika xor

Tabel kebenaran untuk operasi eksklusif or dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

P	Q	p ±q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

   V.            PROPOSISI BERSYARAT (IMPLIKASI)

Proposisi majemuk dapat berbentuk “jika p maka q” seperti contoh :

a.     Jika adik lulus ujian maka ia mendapat hadiah dari nenek

b.    Jika suhu mencapai 100  derajat maka ruangan ini meledak

c.     Jika anda tidak mendaftar ulang maka dianggap mengundurkan diri

Pernyataan-pernyataan di atas ( jika p maka q ) dinamakan proposisi bersyarat atau kondisional atau implikasi

Tabel Kebenaran Implikasi

P	q	p à q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Implikasi p à q hanya salah jika p benar tetapi q salah, selain itu implikasi bernilai benar.

Misalkan :

Seorang dosen berkata kepada mahasiswanya di dalam kelas “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih maka anda akan mendapat nilai A untuk matakuliah ini”.

Apakah dosen tersebut mengatakan kebenaran atau dia berbohong ? Lihat tiga kasus berikut ini :

Kasus 1 :

Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapat nilai A untuk matakuliah tersebut (konklusi benar). Pada kasus ini pernyataan dosen tersebut benar

Kasus 2 :

Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) tetapi anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah). Pada kasus ini dosen tersebut berbohong (pernyataannya salah)

Kasus  3  (Kasus Dosen yang baik) :

Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda mendapat nilai A (konklusi benar).

Pada kasus ini dosen tersebut tidak dapat dikatakan salah (mungkin ia melihat kemampuan anda secara rata-rata bagus sehingga ia tidak ragu memberi nilai A)

Implikasi sangat penting sekali dalam penalaran. Implikasi ini tidak hanya diekspresikan dalam pernyataan standar “jika p maka q” tetapi juga dapat diekspresikan dalam berbagai cara yaitu

a.     Jika p maka q

b.    Jika p, q

c.     p mengakibatkan  q

d.    q jika p

e.     p hanya jika q

f.       p syarat cukup agar q

g.     q syarat perlu bagi p

h.    q bilamana p

Contoh :

a.     Jika hari hujan maka tanaman akan tumbuh subur

b.    Jika tekanan gas diperbesar mobil melaju kencang

c.     Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik

d.    Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan

e.     Udin bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Logika Informatika

f.       Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok

g.     Syarat perlu bagi Indonesia agar Juara Piala Dunia adalah dengan mengontrak Lionel Messi dan CR7

h.    Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi

Contoh 14 :

Ubahlah proposisi c sampai h di atas ke dalam bentuk proposisi “Jika p maka q”

c.     Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik

d.    Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan

e.     Udin bias mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Logika Informatika

f.       Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok

g.     Syarat perlu bagi Indonesia agar Juara Piala Dunia adalah dengan mengontrak Lionel Messi dan CR7

h.    Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi

Penyelesaian :

c.     Jika es mencair di kutub, maka permukaan air laut menaik

d.    Jika orang itu diberi ongkos jalan maka ia mau berangkat

e.     Jika Udin mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal, maka ia sudah lulus matakuliah Logika Informatika

f.       Jika api memercik dari rokok maka pom bensin meledak

g.     Jika Indonesia Juara Piala Dunia maka Indonesia mengontrak Lionel Messi dan CR7

h.    Jika hutan-hutan ditebangi maka banjir bandang terjadi

Contoh 15 :

Misalkan

          x : Anda berusia 17 tahun

          y :Anda dapat memperoleh SIM

Nyatakan proposisi berikut ini ke dalam notasi implikasi :

a.     Hanya jika anda berusia 17 tahun maka anda dapat memperoleh SIM

Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Anda dapat memperoleh SIM hanya jika anda berusia 17 tahun”.

Ingat lho…bahwa p à q bisa dibaca “p hanya jika q”.

So..pernyataan yang diberikan dilambangkan dengan y à x

b.    Syarat cukup agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun

c.     Syarat perlu agar anda dapat memperoleh SIM adalah anda berusia 17 tahun

d.    Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun

e.      Anda tidak dapat memperoleh SIM bilamana anda belum berusia 17 tahun

Penyelesaian :

a.     Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Anda dapat memperoleh SIM hanya jika anda berusia 17 tahun”.

Ingat lho…bahwa p à q bisa dibaca “p hanya jika q”.

So..pernyataan yang diberikan dilambangkan dengan y à x

b.    Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Anda berusia 17 tahun adalah syarat cukup untuk dapat memperoleh SIM”.

Ingat lho..bahwa p à q bisa dibaca “p syarat cukup untuk q”.

So..pernyataan yang diberikan dilambangkan dengan x à y

c.     Pernyataan yang diberikan ekivalen dengan “Anda berusia 17 tahun adalah syarat perlu untuk dapat memperoleh SIM”.

Ingat lho..bahwa p à q bisa dibaca “q syarat perlu untuk q”.

So..pernyataan yang diberikan dilambangkan dengan y à x

Jika anda tidak dapat memperoleh SIM maka anda tidak berusia 17 tahun

d.    ~y à ~x             (no comment tuh….)

Ingat kembali ..bahwa p à q bias dibaca “q bilamana p”. Jadi pernyataan yang diberikan dilambangkan dengan ~x à ~y

VI.            HUKUM-HUKUM LOGIKA PROPOSISI

Beberapa hokum logika proposisi mirip dengan hokum aljabar pada system bilangan riil, misalnya a(b+c) = ab + ac yaitu hokum distributif, sehingga hokum logika proposisi dinamakan juga hokum aljabar proposisi.

Tabel di bawah ini merupakan Hukum-hukum logika aljabar proposisi

1.  Hukum Identitas (i)      p v F óp (ii)   p ^ T óp	2.    Hukum null / dominasi (i)     p ^ F ó F (ii)   p v T ó T (iii)p v p v T           p v 1           p
3.  Hukum negasi (i)      p v ~p ó T (ii)   p ^ ~p ó F	4.    Hukum idempotent (i)      p v p ó p (ii)   p ^ p ó p
5.  Hukum involusi (negasi ganda) (i)      ~(~p) ó p	6.    Hukum penyerapan (absorpsi) (i)     p v (p ^ q) ó p (ii)   p ^ (p v q) ó p
7.  Hukum komutatif (i)      p v q ó q v p (ii)   p ^ q ó q ^ p	8.    Hukum asosiatif (i)      p v (q v r) ó (p v q) v r (ii)   p ^ (q ^ r) ó (p ^ q) ^ r
9.  Hukum distributif (i)      p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r) (ii)   p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)	10.           Hukum De Morgan (i)     ~(p ^ q) ó ~p v ~q (ii)   ~(p v q) ó ~p ^ ~q

Contoh11 :

Tunjukkan bahwa p v ~(p v q) dan p v ~q keduanya ekivalen secara logika

Penyelesaian :

          p v ~(p v q)          ó p v (~p ^ ~q)            (Hukum De Morgan)

ó (p v ~p) ^ (p v ~q)   (Hukum distributif)

ó T ^ (p v ~q)              (Hukum negasi)

óT ^ p v T ^ ~q           (Hukum distributif)

óp v ~q                        (Hukum identitas)

Hukum negasi

p v ~p ó T

p ^ ~p ó F

Hukum Identitas

p v F óp    ; T ^ p ó p          ; T ^ q ó q          ; T ^ ~q ó ~q

p ^ T óp

Contoh 12 :

Tunjukkan bahwa p ^ (p v q) ó p

Penyelesaian :

          p ^ (p v q)           ó (p v F) ^ (p v q)        (Hukum Identitas)

                                       óp v (F ^ q)                 (Hukum distributif)

                                       óp v F                          (Hukum Null)

                                      óp v p ^ F

                                       óp                                (Hukum identitas)

Hukum Identitas

p v F óp    ; T ^ p ó p          ; T ^ q ó q          ; T ^ ~q ó ~q

p ^ T óp

Hukum distributif

p v (q ^ r) ó (p v q) ^ (p v r)

p ^ (q v r) ó (p ^ q) v (p ^ r)

Hukum null / dominasi

p ^ F ó F

p v T ó T