LOGIKA
Logika merupakan studi penalaran. Penalaran adalah cara
berpikir dengan mengembangkan sesuatu berdasarkan akal budi dan bukan dengan perasaan
atau pengalaman.
Pelajaran logika difokuskan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan
(statements).
Berikut
contoh statements :
Semua pengendara sepeda motor memakai helm
Setiap orang yang memakai helm adalah WANITA
Jadi, semua pengendara sepeda motor
adalah WANITA
I.
PROPOSISI
Di dalam matematika, tidak semua kalimat berhubungan
dengan logika. Hanya kalimat yang bernilai benar atau salah saja yang digunakan
dalam penalaran. Kalimat tersebut dinamakan proposisi (preposition).
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar
(true) atau salah (false), tetapi tidak dapat sekaligus keduanya.
Kebenaran atau kesalahan dari sebuah kalimat disebut nilai kebenarannya (truth value)
Contoh 1 :
a.
5 adalah bilangan genap
b.
Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama
c.
2 + 2 = 5
d.
Ibukota Provinsi Jawa Barat adalah Semarang
e.
12 >= 19
f.
Kemarin hari hujan
g.
Suhu di permukaan laut adalah 21 derajat celcius
h.
Gadis itu tinggi
i.
Kehidupan hanya ada di planet Bumi
Contoh 2 :
a.
Jam berapa kereta api Argo Bromotiba di Gambir ?
b.
Serahkan uangmu sekarang
c.
X + 3 = 8
d. X > 3
Sebagai simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan
huruf kecil seperti p,q,r….misalnya :
p : 6
adalah bilangan genap
q
:Soekarno adalah Presiden Indonesia yang pertama
r : 2 +
2 = 4
II.
KOMBINASI PROPOSISI
Kita dapat membentuk proposisi baru dengan cara mengkombinasikan
satu atau lebih proposisi. Operator yang digunakan untuk mengkombinasikan proposisi
disebut operator logika.
Operator logika yang digunakanadalah :
1. dan (and)
2. atau (or)
3. tidak (not)
Dua operator pertama dinamakan operator biner sedangkan operator ketiga dinamakan
operator uner.
Proposisi baru yang diperoleh dari pengkombinasian tersebut dinamakan proposisi majemuk (compound
proposition) sedangkan proposisi yang bukan merupakan kombinasi lain disebut
proposisi atomic.
Proposisi majemuk terdiri 3 macam :
1.
Konjungsi
2.
Disjungsi
3. Ingkaran
Contoh3 :
Misalkan p dan q adalah proposisi
1.
Konjungsi (conjunction) p dan q dinyatakan dengan notasi p ^ q adalah proposisi
p dan q
2.
Disjungsi (disjunction) p dan q dinyatakan dengan notasi p v q adalah proposisi
p atau q
3.
Ingkaran atau (negation) dari p dinyatakan dengan notasi ~p adalah proposisi
tidak p
Berikut contoh-contoh proposisi majemuk dan notasi simboliknya.
Ekspresi proposisi majemuk dalam notasi simbolik dinamakan Ekspresi Logika.
Contoh4 :
Diketahui proposisi-proposisi berikut :
p :Hari
ini hujan
q
:Mahasiswa diliburkan dari kampus
maka :
p ^ q : Hari ini hujan dan mahasiswa diliburkan dari kampus
p v q : Hari ini hujan atau mahasiswa diliburkan
dari kampus
~p : Tidak benar hari ini hujan
(Hari ini tidak
hujan)
Contoh5 :
Diketahuiproposisi-proposisiberikut :
p
:Hari ini hujan
q
:Hari ini dingin
maka
q v
~p : Hari ini dingin atau hari ini
tidak hujan
atau Hari ini dingin atau tidak hujan
~p ^
~q : Hari ini tidak hujan dan hari ini
tidak dingin
~(p v
q) atau Hari ini tidak hujan maupun dingin
~(~p) :
Tidak benar hari ini tidak hujan
atau
Salah bahwa hari ini tidak hujan
Contoh6 :
Diketahuiproposisi-proposisiberikut :
p
:Gadis itu tinggi
q
:Gadis itu geulis
Pernyataanberikutinimerupakanproposisi :
a.
Gadis itu tinggi dan geulis
b.
Gadis itu tinggi tapi tidak geulis
c.
Gadis itu tidak tinggi maupun geulis
d.
Tidak benar bahwa Gadis itu pendek atau tidak geulis
~(~p v ~q)
e.
(Gadis itu tinggi atau pendek) dan geulis
(p v ~p) ^ q
f.
Tidak benar bahwa Gadis itu pendek maupun geulis
~(~p ^ q)
III. TABEL KEBENARAN
Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan cara mereka dihubungkan oleh operator logika.
Misalkan p dan q adalah proposisi
a.
Konjungsi p ^ q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
b.
Disjungsi p v q bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar
c. Negasi p yaitu ~p bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar
Contoh7 :
Misalkan
p :
17 adalah bilangan prima
q
:bilangan prima selalu ganjil
jelas bahwa p bernilai benar dan q bernilai salah sehingga konjungsi
p ^ q
: 17 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil
adalah salah
Satu cara yang praktis untuk menentukan nilai kebenaran proposisi majemuk adalah menggunakan table kebenaran (truth table)
|
P
|
q
|
p ^ q
|
|
p
|
q
|
p v q
|
|
p
|
~p
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
|
||
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
|
||
Contoh8 :
Jika p, q, dan r adalah proposisi. Bentuklah table kebenaran dari ekspresi logika
(p ^
q) v (~q ^ r)
Penyelesaian:
Ada 3 buah proposisi atomik di dalam ekspresi logika dan setiap proposisi hanya mempunyai 2 kemungkinan nilai, sehingga jumlah kombinasi dari semua proposisi tersebut adalah 2 x 2 x 2 = 8
Berikut table kebenaran dari ekspresi logika di atas :
|
p
|
q
|
r
|
p ^ q
|
~q
|
~q ^ r
|
(p ^ q) v (~q ^ r)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
F
|
F
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
Proposisi majemuk dapat selalu bernilai benar untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya atau selalu bernilai salah untuk berbagai kemungkinan nilai kebenaran masing-masing proposisi atomiknya.
Sebuah proposisi majemuk disebut Tautologi jika ia benar untuk semua kasus, sebaliknya disebut Kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus.
Contoh9
:
Misalkan
p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk p v ~(p ^ q) adalah sebuah tautology karena kolom terakhir pada table kebenarannya hanya memuat T, sedangkan (p ^ q) ^ ~(p v q) adalah sebuah kontradiksi karena kolom terakhir pada table kebenarannya hanya memuat F
|
p
|
q
|
p ^ q
|
~(p ^ q)
|
p v ~(p ^ q)
|
|
T
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
p
|
q
|
p ^ q
|
p v q
|
~(p v q)
|
(p ^ q) ^ ~(p v q)
|
|
T
|
T
|
T
|
T
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
F
|
F
|
|
F
|
F
|
F
|
F
|
T
|
F
|
Ada kalanya dua buah proposisi majemuk dapat dikombinasikan dalam berbagai cara namun semua kombinasi tersebut selalu menghasilkan table kebenaran yang sama. Kita mengatakan bahwa kedua proposisi majemuk tersebut ekivalen secara logika.
Contoh10
:
Berikut ini table kebenaran untuk proposisi~(p ^ q) dan proposisi
~p v ~q
Kolom terakhir pada kedua table tersebut sama nilainya yaitu F, T, T, T
Sehingga kita katakana bahwa proposisi tersebut ekivalen secara logika atau ditulis sebagai
~(p ^ q) รณ ~p v ~q
Bentuk ke-ekivalenan ini dikenal dengan nama Hukum
De Morgan
|
p
|
q
|
p ^ q
|
~(p ^ q)
|
|
p
|
q
|
~p
|
~q
|
~p v ~q
|
|
T
|
T
|
T
|
F
|
|
T
|
T
|
F
|
F
|
F
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
|
T
|
F
|
F
|
T
|
T
|
|
F
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
T
|
T
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
F
|
T
|
|
F
|
F
|
T
|
T
|
T
|
0 komentar:
Posting Komentar