HIMPUNAN (SET)

HIMPUNAN

Himpunan (set) adalah kumpulan objek yang berbeda. Objek yang terdapat di dalam himpunan disebut elemen, unsur atau anggota.

I.        Penyajian Himpunan terdiri dari :

1.      Enumerasi

Jika sebuah himpunan terbatas dan tidak terlalu besar, maka kita dapat menyajikan himpunan dengan cara mengenumerasi, artinya menuliskan semua elemen himpunan yang bersangkutan di antara dua buah tanda kurung kurawal.

Contoh 1 :

Himpunan A berisi empat anggota yaitu 1, 2, 3 dan 4 dapat ditulis A = {1, 2, 3, 4}

Contoh-contoh himpunan lainnya :

          R = {a, b, {a, b, c}, {a, c}}

          D = {{a}}    

          C = {a, {a}, {{a}}}

          K = { {} }

Dari contoh di atas, C adalah himpunan yang terdiri dari 3 elemen, yaitu a, {a} dan {{a}}. Contoh di atas memperlihatkan bahwa suatu himpunan dapat merupakan anggota himpunan lain.

Sok liatin….bahwa K hanya berisi satu elemen, yaitu {}. Kalo ngga salah….{} disebut himpunan kosong, sering dilambangkan dengan

Eit..jangan lupa…Untuk menuliskan dengan jumlah anggota yang besar dan telah memiliki pola tertentu dapat dilakukan dengan melakukan tanda ‘…’ (ellipsis)

Contoh 2 :

Himpunan alphabet ditulis sebagai {a, b, c, ….,z} dan himpunan 100 buah bilangan asli pertama ditulis sebagai {1, 2, …, 100}.

Terhadap suatu himpunan, suatu objek dapat menjadi anggota atau bukan anggota himpunan tersebut. Untuk menyatakan keanggotaan tersebut digunakan notasi berikut :

          x A untuk menyatakan  x merupakan anggota himpunan A

          x A untuk menyatakan x bukan merupakan anggota himpunan A

Misalkan :

A = {1, 2, 3, 4}     ;        R = {a, b, {a, b, c}, {a, c}}       ;        K = { {} }

Maka :       3 A

                   5  A

                   {a, b, c}  R

                   {a} R

                   a R

                   {}  K

Misalkan lagi….

P1 = {a, b}  ;        P2 = {{a, b}}         ;        P3 = {{{a, b}}}

Maka :       a P1

                   a P2

                   P1   P2

                   P1   P3

                   P2  P3

2.      Simbol-simbol Baku

P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3, ….}

N = himpunan bilangan asli = {1, 2, …….}

Z = himpunan bilangan bulat = { …., -2, -1, 0, 1, 2, …}

Kadang-kadang kita berhubungan dengan himpunan-himpunan yang semuanya merupakan bagian dari sebuah himpunan yang universal. Himpunan universal ini disebut semesta dan disimbolkan dengan U

Misalkan :

U = {1, 2, 3, 4, 5}  dan  A adalah himpunan bagian dari U

Maka A = {1, 3, 5}

3.    Notasi Pembentuk Himpunan

Dengan cara seperti ini, himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh anggotanya.

          Notasi : { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x }

Keterangan :

a.     Bagian di kiri tanda ‘|’ melambangkan elemen himpunan

b.    Tanda ‘|’ dibaca dimana atau sedemikian sehingga

c.     Bagian di kanan tanda ‘|’ menunjukkan syarat keanggotaan himpunan

d.    Setiap tanda ‘,’ di dalam syarat keanggotaan dibaca sebagai dan

Contoh 3 :

1.      A adalah himpunan bilangan bulat positif yang kecil dari 5, dinyatakan sebagai :

A = {x | x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

atau dalam notasi yang lebih ringkas :

          A = {x | x  P, x < 5}      yang sama dengan A = {1, 2, 3, 4}

2.      B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8, dinyatakan sebagai  :

B = {x | x adalah himpunan bilangan genap positif lebih kecil atau sama dengan 8}

atau dalam notasi yang lebih ringkas :

    B = {x | x/2 P, 2  x  8}      yang sama dengan B = {2, 4, 6, 8}

4.      Diagram Venn

Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis.

 

II.     Kardinalitas

Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A

          Notasi        :        n(A) atau |A|

Contoh 4 :

Di bawah ini adalah contoh-contoh himpunan berhingga

(i)               A = {x | x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20}, maka |A|=8, dengan elemen-elemen A adalah 2,3,5,7,11,13,17,19

(ii)             B = {kucing, a, Amir, 10, paku}, maka |B|=5, dengan elemen-elemen B adalah kucing, a, Amir, 10 dan paku

(iii)          C = {a, {a}, {{a}}}, maka |C|=3, dengan elemen-elemen A adalah a, {a}, {{a}}

(iv)          D = {x|x adalah faktor dari 12}, maka |D|=6, dengan elemen-elemen D adalah 1,2,3,4,6 dan 12

(v)             E = {x|x adalah bilangan bulat positif kurang dari 1}, maka |E|=0, karena tidak ada bilangan positif yang kurang dari 1

(vi)          F = {x|x adalah kucing di Cirebon}, ini adalah himpunan berhingga, meskipun sangat sulit menghitung jumlah kucing di Cirebon, tetapi ada jumlah tertentu yang berhingga kucing di Cirebon.

Himpunan yang tidak berhingga mempunyai kardinal tidak berhingga pula.

Contoh 5 :

Himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tidak berhingga, maka |R| =

III.  Himpunan Kosong

Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinal = 0 disebut himpunan kosong (empty set)

          Notasi        :         atau {}

Contoh 6 :

(i)                E = {x|x < x}, maka |E| = 0

(ii)             P = {orang Indonesia yang pernah ke bulan}, maka |P|=0

IV.  Himpunan Bagian (Subset)

Sebuah himpunan dapat merupakan bagian dari himpunan lain. Anggota yang dikandung di dalam himpunan tersebut juga terkandung di dalam himpunan yang lain.

Definisi :

Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

          Notasi        :        A  B

Diagram Venn-nya gimannna…??

Contoh 7 :

(i)                {1, 2, 3}  {1, 2, 3, 4, 5}

(ii)             {1, 2, 3}  {1, 2, 3}

Contoh 8 :

A = {p, q, r} bukan himpunan bagian dari B = {m, p, q, t, u} karena

r A tetapi r  B

V.               Himpunan yang sama

Dua buah himpunan mungkin saja sama, yaitu semua anggota di dalam kedua himpunan tersebut sama, meskipun urutannya di dalam himpunan tidak sama

Definisi :

Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka dapat dikatakan A tidak sama dengan B.

          Notasi        :        A = B ↔ A ⊆ B dan B ⊆ A

Contoh 9 :

(i)                Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {5, 3, 8}, maka A = B

(ii)             Jika A = {3, 5, 8, 5} dan B = {3, 8}, maka A  B

Tiga hal yang perlu dicatat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :

1.    Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting

Jadi {1, 2, 3} = {3, 2, 1} = {1, 3, 2}

2.    Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan

Jadi   {1, 1, 1, 1} = {1, 1} = {1}

          {1, 2, 3} = {1, 2, 1, 3, 2, 1}

3.    Untuk tiga buah himpunan yaitu A, B dan C berlaku teori berikut :

a.     A = A, B = B dan C = C

b.    Jika A = B, maka B = A

c.     Jika A = B dan B = C, maka A = C

VI.  Himpunan yang Ekivalen

Dua buah himpunan dapat mempunyai kardinal yang sama meskipun anggota kedua himpunan tersebut tidak sama. Maka dapat dikatakan bahwa kedua himpunan tersebut ekivalen.

Definisi :

Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama.

Notasi        :        A ~ B ↔ |A| = |B|

Contoh 10 :

Jika A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}, maka A ~ B sebab |A| = |B| = 4

VII.         Himpunan Saling Lepas

Dua buah himpunan mungkin saja tidak memiliki anggota yang samasatu buahpun. Kedua himpunan tersebut dikatakan saling lepas (disjoint)

Definisi :

Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama.

          Notasi        :        A // B

Gimana ya…Diagram Venn nya…?

Contoh 11 :

Jika A = { x | x  P, x < 8 } dan B = { 10, 20, 30, …}, maka A // B

VIII.      Operasi Terhadap Himpunan

Terhadap dua buah himpunan atau lebih, kita dapat tuh..melakukan operasi untuk menghasilkan himpunan lain. Jenis operasi yang digunakan adalah irisan (intersection), gabungan (union), komplemen (complement), selisih (difference), perkalian kartesian (Cartesian product), dan beda-setangkup (symmetric difference).

1.      Irisan (Intersection)

Definisi :

Irisan (Intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B.

          Notasi        :        A  B = { x | x  A dan x  B }

Gimana ya…Diagram Venn nya…?

Contoh 12 :

Lihat di bawah ini :

(i)                Jika A = {2,4,6,8,10} dan B = {4,10,14,18}, maka A  B = {4,10}

Jika A = {2,5,8} dan B = {7,5,22}, maka A  B = {2,5,7,8,22}

(ii)             Jika A = {3,5,9} dan B = {-2,6} maka A  B = ,  artinya A // B

2.      Gabungan (Union)

Definisi :

Gabungan (Union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A dan himpunan B.

          Notasi        :        A B = { x | x  A atau x  B }

Gimana ya…Diagram Venn nya…?

Contoh 13 :

Lihat di bawah ini :

(i)                Jika A = {2,5,8} dan B = {7,5,22}, maka A  B = {2,5,7,8,22}

(ii)             A  = A

3.    Komplemen (Complement)

Definisi :

Komplemen (Complement) dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.

          Notasi        :         = { x | x  U dan x  A }

Gimana ya…Diagram Venn nya…?

Contoh 14 :

 Lihat di bawah ini :

Misalkan U = {1, 2, 3, …, 9}

(i)                Jika A = {1,3,7,9}, maka  = {2,4,5,6,8}

(ii)             Jika A = {x|x/2  P, x < 9}, maka  = {1,3,5,7}

Contoh 15 :

Misalkan

A = himpunan semua mobil buatan dalam negeri

B = himpunan semua mobil impor

C = himpunan semua mobil yang dibuat sebelum tahun 2010

D = himpunan semua mobil yang nilai jualnya kurang dari Rp. 200 juta

E = himpunan semua mobil milik mahasiswa STIKOM POLTEK Cirebon

(i)                Pernyataan “semua mobil impor buatan setelah tahun 2010 ditambah dengan yang mempunyai nilai jual lebih dari Rp.200 juta” dapat dinyatakan dalam notasi himpunan sebagai

     B

(ii)             Pernyataan “semua mobil milik mahasiswa STIKOM POLTEK Cirebon buatan dalam negeri atau semua mobil milik mahasiswa STIKOM POLTEK Cirebon buatan luar negeri”

     (E  A) U (E  B)

(iii)           Selisih (Difference)

Definisi :

Selisih (Difference) dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai komplemen himpunan B relative terhadap himpunan A.

Jika A = {1,2,3, …, 10} dan B = {2,4,6,8,10} maka       A – B = { 1, 3, 5, 7, 9 } 

          Notasi        :        A – B = {x|x  A dan x ∉ B} = A

Punten liat lagi…bahwa komplemen dari sembarang himpunan A terhadap semesta U dapat juga didefinisikan sebagai  = U – A

Gimana yach…Diagram Venn nya…?

Contoh 16 :

Punten… liat di bawah ini :

(i)                Jika A = {1,2,3, …, 10} dan B = {2,4,6,8,10} maka A – B = {1,3,5,7,9}  dan B – A =

(ii)             {1,3,5} – {1,2,3} = {5}       ;        {1,2,3} – {1,3,5} = {2}

(iii)           Beda-Setangkup (Symmetric Difference)

Definisi :

Beda-Setangkup (Symmetric Difference) dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada keduanya.

Jika A = {2,4,6} dan B = {2,3,5}, maka A  B = {3,4,5,6}

Notasi        :        A  B = (A  B) – (A  B)

Gimana yach…Diagram Venn nya…?

Contoh 16 :

Punten… liat di bawah ini :

Jika A = {2,4,6} dan B = {2,3,5}, maka A  B = {3,4,5,6}

Contoh 17 :

Punten… liat di bawah ini :

Misalkan :

          U = himpunan mahasiswa

          P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80

          Q = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UAS di atas 80

Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80.

Maka gimana atuh…notasi himpunannya…?

Pernyataan “semua mahasiswa yang mendapat nilai B” adalah P  Q

(i)                Pernyataan “semua mahasiswa yang mendapat nilai A” adalah P  Q

(ii)             Pernyataan “semua mahasiswa yang mendapat nilai B” adalah P  Q

(iii)           Pernyataan “semua mahasiswa yang mendapat nilai C” adalah U – (P  Q)

Primbon Beda-setangkup…memenuhi hukum-hukum berikut :

(a)           A  B = B  A                                (hukum komutatif)

(b) (A  B)  C = A  (B  C) (hukum asosiatif)

(iv)                Perkalian Kartesian (Cartesian Product)

Definisi :

Perkalian Kartesian (Cartesian Product) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.

          Notasi        :        A x B = {(a,b) | a  A dan b  B}

Contoh 18 :

Punten… liat di bawah ini :

Misalkan C = {1,2,3} dan D = {a,b}, maka perkalian kartesian C dan D adalah C x D = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

Inga…inga…bahwa :

a.     Pasangan berurutan (a,b) berbeda dengan (b,a), alias (a,b)  (b,a)

b.    Perkalian kartesian tidak komutatif yaitu A x B  B x A dengan syarat A atau B tidak kosong

c.     Jika A =  atau B = , maka A x B = B x A =

Contoh 19 :

Misalkan

          A = Himpunan makanan

                   = {s=soto babat, g=gado-gado, n=nasi goreng, m=mie rebus}

          B = himpunan minuman

= {c=coca-cola, t=teh, d=es dawet}

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat disusun dari kedua himpunan di atas ?

Penyelesaian :

|A x B| = |A| . |B| = 4 . 3 = 12 kombinasimakanan dan minuman

{(s,c),(s,t),(s,d),(g,c),(g,t),(g,d),(n,c),(n,t),(n,d),(m,c),(m,t),(m,d)}

IX.            Hukum-hukum Aljabar Himpunan

Ada banyak kali…hukum-hukum aljabar himpunan :

1.     Hukum Identitas (i)                A  = A (ii)              A  U = A	2.    Hukum null/dominasi (i)                A  = (ii)             A  U = U
3.     Hukum Komplemen (i)                A  = U (ii)              A  =	4.    Hukum Idempoten (i)                A  A = A (ii)             A  A = A
5.     Hukum Involusi  = A	6.    Hukum penyerapan (absorpsi) (i)                A  (A  B) = A (ii)             A  (A  B) = A
7.     Hukum Komutatif (i)                A  B = B  A (ii)              A  B = B  A	8.    Hukum Asosiatif (i)                A  (B  C) = (A  B)  C (ii)             A  (B  C) = (A  B)  C
9.     Hukum Distributif (i)                A  (B  C) = (A  B)  (A  C) (ii)              A  (B  C) = (A  B)  (A  C)	10.                       Hukum De Morgan (i)                 = (ii)              =
11.  Hukum 0/1 (hukum komplemen 2) (i)                 = U (ii)               =

X.               Prinsip Dualitas

Prinsip dualitas banyak ditemukan pada beberapa situasi. Prinsip ini menyatakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan  jawaban yang benar.

Punten tingal :

(a)  Di Amrik sana :

-         Mobil harus berjalan di bagian kanan jalan

-         Pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului

-         Bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung

(b) Di Negaranya Manchester United dan di Negara kita :

-         Mobil harus berjalan di bagian kiri jalan

-         Pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului

-         Bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung

So… konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua Negara tersebut sehingga peraturan di Amrik menjadi berlaku pula di negaranya MU. Prinsip inilah yang dinamakan dengan prinsip dualitas.

Punten tingal :

1.      Hukum identitas A  = A	Dualnya : A  U = A
2.      Hukum null/dominasi A  =	Dualnya : A  U = U
3.      Hukum komplemen A  = U	Dualnya : A  =
4.      Hukum idempotent A  A = A	Dualnya : A  A = A
5.      Hukum penyerapan A  (A  B) = A	Dualnya : A  ( A  B) = A
6.      Hukum komutatif A  B = B  A	Dualnya : A  B = B  A
7.      Hukum asosiatif A  (B  C) = (A  B)  C	Dualnya : A  (B  C) = (A  B)  C
8.      Hukum distributive A  (B  C) = (A  B)  (A  C)	Dualnya : A  (B  C) = (A B)  (A  C)
9.      Hukum de Morgan  =	Dualnya :  =
10. Hukum 0/1  = U	Dualnya :  =